Senin, 17 November 2014

Contoh Soal Struktur Menggunakan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method)

Jika diketahui struktur penarik terbuat dari pelat epoksi 200x600 mm dengan tebal 50 mm. pelat diberi beban tekan aksial sebesar 50 kg. kekuatan tarik ,modulus elastisitas, dan perpanjangan patah epoksi adalah 50 Mpa, 2 Gpa, dan 2,5% . Perkirakan
perpanjangan dan tegangan pada pelat di 0,200,300,400,500,600 mm dari tumpuan!

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal tersebut, dilakukan penyelesaian dengan langkah sebagai berikut:

Pemotongan sistem dan pembentukan elemen hingga
Kita bentuk struktur yang terdiri dari 7 elemen dan 7 node, seperti gambar berikut:


Menetukan persamaan perilaku tiap elemen:

Di dapatkan hubungan sebagai berikut:


3.  Menentukan sifat setiap elemen:
  a. Node 1 :

Pers:
                     R =   K1 (U2-U1)
                     R  =  K1U2 - K1U1
                     R  = -K1  (U1 ) + K1 (U2)    ……………... (1)


 b. Node 2:
Pers:
  K1(U2 – U1)     = K2(U3 – U2) + K4(U4 – U2)
  K1U2 – K1U1   = K2U3 – K2U2 + K4U4 – K4U2
        0     = K1U1 – K1U2 – K2U2 – K4U2 + K4U4
K1U1 + (-K1-K2-K4)U2 + K2U3 + K4U4 = 0 ………(2)
 c. Node 3:
Pers :
 K2(U3 – U2)     = K3(U5 – U3)
 K2U3 – K2U2   = K3U5 – K3U3
  K2U2 – K2U3 – K3U3 + K3U5 = 0
   K2U2 + (-K2-K3)U3 + K3U5  = 0  ……………………….(3)

d. Node 4:
 pers:
K4(U4 – U2)                 = K5(U5 – U4)
K4U4 – K4U2               = K5U5 – K5U4
K4U2 – K4U4 – K5U4 + K5U= 0

          K4U2 + (-K4-K5)U4 + K5U5        = 0  ……………………(4)


e Node 5:
pers:
            K3(U5 – U3) + K5(U5 – U4)                              = K6(U6 – U5)
K3U5 – K3U3 + K5U5 – K5U4                           = K6U6 – K6U5
K3U3 + K5U4 – K3U5 – K5U5 – K6U5 + K6U6 = 0
K3U3 + K5U4 + (-K3-K5-K6)U5 + K6U6              = 0 ……………  (5)

f. Node 6:
Pers:

K6(U6 – U5)                 = K7(U7 – U6)
K6U6 – K6U5               = K7U7 – K7U6
K6U5 – K6U6 – K7U6 + K7U= 0
k6U5 + (-K6-K7)U6 + K7U7       = 0 …………………. (6)

 g. Node 7:
Pers:
P  = K7(U7 – U6)
P  = K7U7 – K7U6
P  = -K7U6 + K7U7…………….. (7)

4.    Memasang elemen dan membentuk persamaan sistem pusat:

Kemudian menentukan kondisi batas:
Dimana Node 1 diam,makan U1=0 , dan pada node 7 diberi beban kompresi sebesar P,sehingga mariks diatas menjadi:


 5. Mencari solusi dari tiap elemen:

         E = 2GPa = 2.109 N/m2
         P = -500 N

K1       = (AE)/L                                                        
= (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,2                                             
            = 107 N/m

K2       = (AE)/L                                                        
= (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1                                         
            = 5.107 N/m    

K3       = (AE)/L                                                        
= (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1                                           
            = 5.107 N/m    

K4       = (AE)/L
= (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1
            = 5.107 N/m

K5       = (AE)/L
= (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1
= 5.107 N/m

K6       = (AE)/L
             = (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,1
             = 2.108 N/m
           
K7       = (AE)/L
= (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,1
            = 2.108 N/m

 Sehingga bentuk matriks menjadi :

Menjadi persaman-persamaan sebagai berikut:

            U1        = 0
            U3        = U4

0                    = K1U1 + (-K1-K2-K4)U2 + K4U4
0                    = (-107-5.107-5.107) U2 + 5.107 U3 + 5.107 U4
0                    = -11.107 U2 + 10.107 U4
U4       = 1,1 U2

           0          = K2U2 + (-K2-K3)U3 + K3U5
           0          = 5.107 U2 + (-5.107-5.107)U3 + 5.107 U5
           0          = 5.107 U2 – 10.107 (1,1 U2) + 5.107 U5
           0          = 5.107 U2 – 11.107 U2 + 5.107 U5
           0          = -6.107 U2 + 5.107 U5
           U5        = 1,2 U2

           0          = K3U3 + K5U4 + (-K3-K5-K6)U5 + K6U6
0                    = 5.107U3 + 5.107U4 + (-5.107-5.107-20.107)U5 + 20.107U6
0                    = 10.107 U4 – 30.107U5 + 20.107U6
0                    = 10.107 (1,1 U2) – 30.107 (1,2 U2) + 20.107U6
0                    = 11.107 U2 – 36.107 U2 + 20.107U6
0                    = -25.107 U2 + 20.107U6
U6        = 1,25 U2

            0          = K6U5 + (-K6-K7)U6 + K7U7
0                    = 20.107 U5 + (-20.107-20.107)U6 + 20.107U7
0                    = 20.107U5 – 40.107U6 + 20.107U7
0                    = 20.107 (1,2 U2) – 40.107 (1,25 U2) + 20.107U7
0          = 24.107 U2 – 50.107 U2 + 20.107U7
            0          = -26.107 U2 + 20.107U7
            U7        = 1,3 U2

           -500     = -K7U6 + K7U
           -500     = -20.107 U6 + 20.107 U7
           -500     = -20.107 (1,25 U2) + 20.107 (1,3 U2)
           -500     = -25.107 U2 + 26.107 U2
           -500     = 107 U2
           U2        = -5.10-5 m
           U2        = - 5.10-2 mm

           U4        = U3     = 1,1 u2
          U4        = U3     = 1,1 x -5.10-5
          U4        = U3     = -5,5.10-5 m
          U4        = U3     = - 5,5.10-2 mm

U5        = 1,2 U2
U5        = 1,2 x -5.10-2
U5        = - 6.10-5 m
U5        = - 6.10-2 mm

U6        = 1,25 u2
U6        = 1,25 x -5.10-2
U6        = - 6,25.10-5 m
 U6        = - 6,25.10-2 mm

U7        = 1,3 U2
U7        = 1,3 x -5.10-2
U7        = - 6,5.10-5 m
U7        = - 6,5.10-2 mm

Sehingga dari nilai U1,U2,U3,U4,U5,U6,U7 menunjukkan besarnya perubahan panjang plat pada jarak :
Pada jarak 0 mm dari tumpuan adalah  0
Pada jarak 100 mm dari tumpuan adalah - 5.10-2 mm
Pada jarak 300 mm dari tumpuan  adalah - 5,5.10-2 mm
Pada jarak 400 mm dari tumpuan  adalah - 6.10-2 mm
Pada jarak 500 mm dari tumpuan adalah - 6,25.10-2 mm
Pada jarak 600 mm dari tumpuan  adalah - 6,5.10-2 mm

Nilai negatif menunjukkan perubahan kea rah kiri ,karena pemampatan.

 Berikutnya adalah perhitungan tegangan, sebagai berikut:



Sehingga, tegangan yang terjadi pada pelat
Untuk jarak 200 mm dari tumpuan sebesar -0,5 Mpa
Untuk jarak 300 mm dari tumpuan sebesar -0,1 Mpa
Untuk jarak 400 mm dari tumpuan sebesar -0,1 Mpa
Untuk jarak 500 mm dari tumpuan sebesar -0,02 Mpa
Untuk jarak 600 mm dari tumpuan sebesar -0,02 Mpa

Nilai negative menunjukkan tegangan bekerja pada arah kiri/negatif.

semoga bermanfaat  :)



Tidak ada komentar:

Posting Komentar